Aufgabe:

Bei der Beweismethode vollständige Induktion liegt die folgende Ausgangssituation vor, die man sich jeweils zu verdeutlichen hat:

• Für jede natürliche Zahl n=0,1,2,3,.... hat man eine Aussage – etwa in Form einer Gleichung – die zunächst wahr oder falsch sein kann. Wir bezeichnen dies Aussage mit A(n). In der Terminologie von Kap. 1 ist n äußerer Parameter, wobei n eine natürliche Zahl sein muss. Es soll gezeigt werden, dass A(n) für alle diese n wahr ist! Oder: Die Gültigkeit von A(n) soll für alle n bewiesen werden.

Dazu benötigt man gewisse Vorbedingungen:

• Zunächst muss man zeigen, dass A(0) wahr ist. (Induktionsstart)

• Dann muss man zeigen, dass für jede natürliche Zahl N gilt: Aus A(0),A(1),....,A(N) folgt A(N+1). Oder: Sind die Aussagen bereits bis n=N bewiesen, dann ist auch A(N+1) wahr.

Sie benötigen also drei Voraussetzungen. Geben sie denen symbolische Kurzbezeichnungen und begründen Sie, dass unter diesen Vorbedingungen die Gültigkeit von A(n) für alle natürlichen n bewiesen ist.

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