Kommentar
Vollständige Induktion ist eine allgemeine Beweismethode. Taucht dieses Stichwort auf, dann muss man die drei genannten Vorbedingungen (A), (InV) und (InR) formulieren. Dabei ist (A) meist vorgegeben, ihr jeweiliger Inhalt sollte aber unbedingt bewußt formuliert werden. (InV) lässt sich dann durch Inspektion der Aussage A(0) meist leicht direkt zeigen, darf aber keinesfalls vergessen werden. Es bleibt (InR).
Vielfach geht man so vor, dass man zunächst das Ergebnis A(N+1) hinschreibt und dann versucht, es mit allgemeinem Wissen und mit Hilfe der Aussagen A(0),....,A(N) zu beweisen. Gelingt das, ist man fertig. Hat die Aussage A(n) die Form einer Gleichung , so kann man mit einer Seite dieser Gleichung beginnen und dann versuchen, mit Hilfe der genannten Voraussetzungen – also zuläsigen Termumformungen - zur anderen Seite zu gelangen! Meist ist dieser Beweis von (InR) der schwierige Teil, für den man fallspezifische Ideen entwickeln und Arbeit investieren muss. Aber Sie sollten in jedem Fall wissen, was Sie zu beweisen haben.
Das ist das allgemeine Schema. Und Sie sollten sich bemühen, dieses Schema allgemein zu verstehen, ohne gleich nach Beispielen zu rufen. Aus diesem Bemühen müssten Sie vor jetzt – vor dem Erlenis eines illustrierenden Beispiels - die folgenden Fragen beantworten können:
Wie sehen die drei Vorbedingungen für die Methode aus?
Was ist dann noch zu beweisen, was ist meist der schwierige Teil?
Was dürfen Sie folgern, wenn der Beweis erfolgreich geführt ist?
Im nachfolgenden Tafelbild ist das Vorgehen nochmals zusammengestellt: Die Punkte (1),(2),(3) und (5) lassen sich in der Regel unmittelbar mit Hilfe der Aufgabensituation formulieren! Auch das angestrebete Ergebnis A(N+1). Dann muss man versuchen fallspezifische mit Hilfe von (1)-(3) und weiterem Vorwissen A(N+1) zu beweisen! Also Punkt (4). Ist das gelungen, darf man folgern: A(n) gilt für alle n.
Wichtig ist, dass Sie lernen, die trivialen Schritte von dem letzten nicht trivialen zu scheiden.
Bei der Formulierung des Beweistextes wird man (1-3) nur kurz andeuten, (4) sorgfältig ausformulieren und (5) nicht vergessen. Falsch ist es, das Schwergewicht der Arbeit auf (1-3) zu legen.