Inspektion

Wir benötigen dreierlei:

(A) Eine Aussage A(n) für jedes natürliche n. Diese Aussagen können zunächst wahr oder falsch sein.

(InV) Unabhängig vom Rest muss die die Gültigkeit von A(0) bewiesen werden. (Um den durch A(n) erfassten Sachverhalt besser zu verstehen, wird man manchmal auch weiter A(1) und A(2) direkt beweisen.)

(InR) Es ist zu zeigen: Falls A(n) für n=0,1,...,N gilt, dann ist auch A(N+1) wahr. Diese Gesetzmäßigkeit ist für alle N zu zeigen. Oder formal:

Formulieren Sie (InR) einmal für N=0, für N=1 und für N=2. Dann können sie sehen, wie man sukzessive die Gültikeit von A(N) für alle N erhält.

Bitte beachten Sie, dass mit „wenn A(0) gilt, dann gilt auch A(1)“ allein A(1) damit noch nicht bewiesen ist. Betrachten Sie die Regel: „Wenn es am Tage n regnet, dann spanne ich immer den Schirm auf“. Spanne ich am Montag den Schirm auf? Das darf man nicht schließen, auch wenn die Regel 100 Prozent gültig ist! Ich benötige davon unabhängig die Gültigkeit der Aussage: „Am Montag hat es geregnet“.

Oder auch: Verdeutlichen Sie sich die unterschiedliche Bedeutung der beiden Aussagen: „Da es regnet, spanne ich den Schirm auf“ sowie „Wenn (falls) es regnet, spanne ich den Schirm auf“. Das Implikationssymbol gehört nie zu „da“, immer zu „wenn, falls“.

Jetzt können Sie das verlangte Argument für die Rechtfertigung der Beweismethode Induktion formulieren , die ja besagt: Immer wenn der Satz von drei Vorbedingungen (A), (InV) und (InR) erfüllt ist darf man folgern, dass A(n) für alle n wahr ist. A(n) ist dann bewiesen.

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