Lösung
Erster Lösungsweg: Zuerst x eliminieren, dann z als freien Parameter wählen.
Ende der Elimnation. Wählt man z frei, dann gibt es keine Verzweigung, da 2+a2>0 gilt. Es folgt:
sowie:
Das gibt folgende Parametrisierung der Lösungsmenge
Man sieht: Der Aufpunktvektor liegt in der x-y-Ebene. Und der Richtungsvektor ist nie parallel zu dieser Ebene. Dagegen ist er für a=3/4 parallel zur x-z-Ebene und für a=-8/3 ist er parallel zur y-z-Ebene!
Zweiter Lösungsweg: Zuerst z eliminieren.
Jetzt läßt sich eine Fallunterscheidung nicht vermeiden. Wir wählen y frei. Dann haben wir:
Fall 1: a =3/4: Dann laut die Bedingungsgleichung 0x+(-41/4)y=2. Also
Das gibt folgende Parametrisierung:
Hier liegt der Aufpunkt nicht in der x-y-Ebene. Wir nehmen eine Verschiebung des Aufpunktes vor:
Das ist die alte Parametrisierung für a=3/4 wie man leicht nachrechnet. (Etwa (4+a)/(2+a2)=76/41=x0 )
Fall 2: a≠3/4.
Das gibt folgende Parametrisierung:
Erneut ist ein anderer Aufpunkt zu wählen:
Das zeigt die Übereinstimmung mit der zuerst gefundenen Parametrisikerung!
Eliminiert man zuerst z und wählt dann x frei statt y, erhält man ein entsprechendes Resultat, nur dass jetzt der Aufpunkt in der y-z-Ebene liegt, nicht in der y-z-Ebene.