Lösung

1. Infolge des Faktors R² hat die rechte Seite die Maßeinheit eines Flächeninhaltes. (Einheitstest, sehr wichtig und nützlich.)

2. Für θ=(π/2) erhält man die Oberfläche der Halbkugel, für θ=π die der Vollkugel. Die Formel gibt die korrekten Werte 2πR² bzw. 4πR².

3. Für θ=0 erhält man korrekt F=0.

4. Für kleines θ ist die Kappe näherungsweise ein Kreis mit Radius r(θ)=Rsinθ. D.h. mit dem Flächeninhalt F_Kreis(θ)=πR²sin²θ. Für kleine θ ist andererseits sinθ≈θ und cosθ≈1-(1/2)θ². Einsetzen gibt Übereinstimmung

5. Folgende Gleichung muss gelten: F_Kappe(θ)+F_Kappe(π-θ)=4πR². Denn die beiden Kappen müssen sich ja zur vollen Kugeloberfläche ergänzen. Einsetzen der Formel gibt Nun ist cos(π-θ)=-cosθ,.wie Inspektion des Graphen von cos zeigt. Das gibt sofort das gewünschte Resultat.

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