.
Der Sinus muss mit
dem Pythagoras eliminiert werden. Das führt auf eine
quadratische Gleichung mit eventuell zu vielen Lösungen. Die
Ausgangsformel lautete:
Lösung
Zunächst
.
Der Sinus muss mit
dem Pythagoras eliminiert werden. Das führt auf eine
quadratische Gleichung mit eventuell zu vielen Lösungen. Die
Ausgangsformel lautete:
Den Bruch beseitigen und quadrieren gibt
Die p-q-Formel liefert nach einer kleinen Zwischenrechnung
mit
.
Die analoge Rechnung für sinq gibt für denselben Bereich
Welche (der 4 möglichen) Vorzeichenkombinationen sind zulässig? Das wird durch den Pythagoras entschieden. Quadrieren und addieren zeigt sofort, dass in beiden Formeln jeweils dasselbe Vorzeichen zu wählen ist.
Nun war noch verlangt, dass
gelten sollte. Das erfordert eine Fallunterscheidung in
r. Sei zunächst r>=1.
Dann gilt für den Term unter der Wurzel
.
Der
Sinus ist nur für das positive Vorzeichen in den Ausdrücken
für sin und cos positiv. Überdies sind alle Q-Werte
zulässig. Wir haben für
eine
eindeutig bestimmte Umkehrfunktion.
Wie ist es mit dem Fall r<1. Jetzt ist der Q-Wert beschränkt durch
.
Weiter gilt
Und das heißt, dass jetzt beide Vorzeichen zulässig sind. Wir erhalten zwei Umkehrfunktionen die bei QMinimal beginnen.