Lösung
1. Beweis: Wir beginnen mit dem ersten der vorgeschlagenen Wege. Starten also mit der gültigen Ausgangsgleichung mit unbestimmten xi für i=1,2,3. Diese Gleichung multiplizieren wir skalar mit dem ersten Einheitsvektor (d.h. beide Seiten) und benutzen die Bilinearität. Dann kommt kartesisch ins Spiel:
Multipliziert man mit den beiden anderen Einheitsvektoren erhält man die beiden anderen gesuchten Beziehungen.
2.
Beweis: Jetzt berechnen wir die drei Skalarprodukte in
Koordinatenform. Bezeichnen wir die Koordinaten von
bezüglich K mit X,y und Z - das sind jetzt gegebene Größen,
die drei Komponenten! - dann folgt wegen
und der die Koordinatenunabhängigkeit des Skalarproduktes wiedergebenden Beziehung (6.1.30) sofort
Beweis: Die geometrische Auswertung des Skalarproduktes gibt
Die Skizze zeigt, dass das gerade die Koordinatenlänge der senkrechten Projektion des Vektors auf die 1-Achse ist. Und das ist die 1-Koordinate des Vektors!
f
Jetzt der zweite Weg. Übergang zu den Koordinatenvektoren gibt (mit Hilfe der angegebenen Regeln und xi erneut unbestimmt):
Aber die 4 beteiligten Koordinatenvektoren (die achsenparallelen Wege) kennen wir alle!