Inspektion

Die angegebene Gleichung ist ausgesprochen wichtig und rechtfertigt die übliche Bevorzugung kartesischer (rechtwinkliger) Koordinatensysteme. Worum geht es. Es gilt sicher eine Beziehung der Form

Ist vorgegeben, dann sind die drei Koordinaten x_i eindeutig bestimmt. (Schluss von der Summe auf den Summanden aus Kap. 4.1). Aber wie erhält man die Werte der Koordinaten x_i? Durch eine geometrische Konstruktion? Das ist ungenau und im Raum mühsam. Oder durch das Lösen eines 3x3-Gleichungsystems. Auch das ist mühsam.

Die gegebenen Formeln besagen, dass man jeweils nur ein Skalarprodukt (aus gegebenen) Vektoren zu berechnen hat, um jeweils eine Komponente (Koordinate) von bezüglich K zu erhalten. Das aber ist recht einfach!

Es wurde gesagt, dass es mehrere Wege gibt, die behauptete Gleichung zu beweisen.

• Eine erste (sehr tragfähige) Idee ist, die Ausgangsgleichung (mit unbestimmten gesuchten x_i ) mit dem Einheitsvektor skalar zu multiplizieren. Tun Sie das. Was folgt, wenn Sie die Rechenregeln für das Skalrprodukt nutzen?

• Oder aber Sie starten mit der Gleichung und werten das Skalarprodukt in Koordinatenform aus.

• Oder Sie starten erneut mit der Gleichung und werten sie in der geometrischen Form aus. Dann können Sie auch geometrisch zeigen, dass x₁ wirklich die gesuchte Koordinate ergibt.

Zurück