Inspektion
Das ist eine Aufgabe mit von a) nach c) zunehmender Schwierigkeit:
Wegen „sei“ ist Gn(x)
offensichtlich eine Bezeichnung für den angegebenen
Rechenausdruck. In a) wird eine einfache Überprüfung der
behaupteten Gleichung verlangt, etwa mit Hilfe der Tunnelmethode und
zugehöriger gültiger Termumformungen. Achten Sie dabei auf
korrektes Einsetzen!
Unter b) wird ein an anderer Stelle
bewiesenes Resultat für die Größe Gn(x)
angegeben, das jetzt als gültig angenommen werden darf. (In der
Aufgabe wird kein Beweis verlangt.) Gefragt wird vielmehr, was beide
Resultate zusammen für den speziellen Fall (n=4=2⋅2)
ergeben. Das Ergebnis ist eine gültige Gleichung, die die
Bezeichnungsgröße Gn nicht mehr enthalten
sollte. ("Herleitung einer gültigen Gleichung")
Unter
c) schließlich wird der bisher ausgelassene Fall mir ungeradem
n, also n=2k+1, behandelt. Hier wird das zu a) analoge Ergebnis nicht
angegeben. Es wird verlangt, es selbst zu finden und dann zu
beweisen. Als Einstieg kann man versuchen, die Rechnung zu a) zu
verallgemeinern. Genauer, man sollte versuchen G2k+1(x)G2k+1(-x)
analog umzuformen. Wenn das nicht klappt, kann man diese Größe
leicht explizit etwa für k=1,2 und 3 distributiv auswerten und
erhält damit rasch eine Vermutung über das allgemeine
Ergebnis. Das kann man über vollständige Induktion
beweisen. Besser ist jedoch der zu a) analoge Weg! Bei diesem
Vorgehen entfällt die letzte Frage aus c)
a) und b) sind
einfach, c) dagegen erweist sich rasch als anspruchsvoller.