Inspektion
Laut Aufgabenstellung wird erwatet, dass Sie wissen, was hier mit „Brennpunkteigenschaft“ gemwint ist. Die Aufgabe soll dazu dienen, zu zeigen, wie man im Prinzip optische Fokuspunkte mit Hilfe der Vektorrechnung sowie dem Reflexionsgesetz und dem Brechungsgesetz löst:
Beschreibe deas einfallende Lichtstrahlbündel vektoriell. Wende an Materialgrenzen jeweils das Reflexionsgestz bzw. das Brechungsgestz an und verfolge den Lichtweg der Strahlen. Suche am Ende eventuelle gemeinsame Schnittpunkte (Fokuspunkte des Bündels). Bilder dazu finden sich in (2.3.1)
Das Durchführen dieses Programms ist teilweise recht mühsam. Das Parabelbeispiel ist relativ gut zu rechnen und soll daher als Beispiel dienen. Zur Ausführung sollten Sie von der Skizze ausgehen.
(1) Bezeichnungen und vorbereitende Skizze
(2) Zunächst das einfallende Lichtbündel vektoriell parametrisieren (ebenes Problem, als Parameter des Lichtstrahles die x-Koordinate des Reflexionspunktes wählen. Die reflektierend Parabel sei durch die Gleichung y=σx2 beschrieben.
(3) Dann das Reflexionsgestz anwenden, um die Richtung des reflektierten Strahles zu bestimmen. (Dazu benötigt man die Richtung der Normalen im Reflexionspunkt, die durch die Differentialrechnung bestimmt wird.
(4) Der reflektierte Strahl geht durch (x,σx2). Da seine Richtung bestimmt ist, kann man ihn parametrisieren.
(5) Zuletzt zeigt man, dass alle Strahlen durch ein und denselben Punkt auf der y-Achse gehen. Das ist der gesuchte Brennpunkt!
Man sieht, dass selbst dieser einfache Fall (einer Fokuspunktbestimmung) einige Arbeit verlangt!